Tiêu cự Thấu kính mỏng

Tiêu cự f của một thấu kính trong không khí được cho bởi phương trình thấu kính:

1 f = ( n − 1 ) [ 1 R 1 − 1 R 2 + ( n − 1 ) d n R 1 R 2 ] , {\displaystyle {\frac {1}{f}}=(n-1)\left[{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}+{\frac {(n-1)d}{nR_{1}R_{2}}}\right],}

trong đó n là chiết suất của vật liệu thấu kính và R 1 và R 2 là bán kính cong của hai bề mặt. Đối với một thấu kính mỏng, d nhỏ hơn nhiều so với một trong các bán kính cong ( R 1 hoặc R 2 ). Trong những điều kiện này, số hạng cuối cùng của phương trình thấu kính trở nên không đáng kể và tiêu cự của một thấu kính mỏng trong không khí có thể xấp xỉ bằng [1]

1 f ≈ ( n − 1 ) [ 1 R 1 − 1 R 2 ] . {\displaystyle {\frac {1}{f}}\approx \left(n-1\right)\left[{\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right].}

Ở đây, R1 là dương nếu như bề mặt đầu tiên là bề mặt lồi và âm nếu như bề mặt là lõm. Các dấu được đảo ngược cho bề mặt phía sau của kính: R2 là dương nếu bề mặt là lõm và âm nếu bề mặt là lồi. Đây là một quy ước dấu tùy ý; một số tác giả chọn quy ước dấu khác nhau cho bán kính, điều này làm thay đổi phương trình tiêu cự.

Đạo hàm sử dụng định luật Snell

Khúc xạ của một thấu kính phẳng lồi mỏng (planoconvex lens)

Xem xét một thấu kính mỏng có bán kính bề mặt thứ nhất là R {\textstyle R} và một mặt phẳng phía sau, làm bằng vật liệu có chiết suất n {\textstyle n} .

Áp dụng định luật Snell, ánh sáng đi vào bề mặt thứ nhất bị khúc xạ theo sin ⁡ i = n sin ⁡ r 1 {\displaystyle \sin i=n\sin r_{1}} , theo đó, i {\displaystyle i} là góc tới trên giao diện và r 1 {\displaystyle r_{1}} là góc khúc xạ.

Đối với bề mặt thứ hai, n sin ⁡ r 2 = sin ⁡ e {\displaystyle n\sin r_{2}=\sin e} , theo đó r 2 {\displaystyle r_{2}} là góc tới và e {\displaystyle e} là góc khúc xạ.

Đối với góc nhỏ, sin ⁡ x ≈ x {\textstyle \sin x\approx x} . Hình học của bài toán sau đó cho ta thấy:

e ≈ n r 2 = n ( i − r 1 ) ≈ n ( i − i n ) {\displaystyle {\begin{aligned}e&\approx nr_{2}\\&=n(i-r_{1})\\&\approx n(i-{\frac {i}{n}})\end{aligned}}}
Lấy nét bằng một thấu kính planoconvex mỏng

Nếu tia tới song song với trục chính và khoảng cách từ trục chính tới tia tới là h {\textstyle h} , ta có

sin ⁡ i = h R ⟹ i ≈ h R . {\displaystyle \sin i={\frac {h}{R}}\implies i\approx {\frac {h}{R}}.}

Thay thế vào biểu thức trên, ta nhận được

e ≈ h R ( n − 1 ) . {\displaystyle e\approx {\frac {h}{R}}(n-1).}

Tia này đi qua trục quang học ở khoảng cách f {\displaystyle f} , được cho bởi

tan ⁡ e = h f ⟹ e ≈ h f {\displaystyle \tan e={\frac {h}{f}}\implies e\approx {\frac {h}{f}}}

Kết hợp hai biểu thức ta được 1 f = 1 R ( n − 1 ) {\textstyle {\frac {1}{f}}={\frac {1}{R}}(n-1)} .

Thêm vào đó, có thể chỉ ra rằng nếu như hai thấu kính có bán kính như vậy, R 1 {\textstyle R_{1}} Và − R 2 {\textstyle -R_{2}} được đặt gần nhau, độ dài tiêu cự có thể được cộng lại để tạo ra công thức thấu kính mỏng:

1 f = ( n − 1 ) ( 1 R 1 − 1 R 2 ) {\displaystyle {\frac {1}{f}}=\left(n-1\right)\left({\frac {1}{R_{1}}}-{\frac {1}{R_{2}}}\right)}